¿Existe algún número que no tenga alguna particularidad que lo convierta en “interesante”? Los llamados números interesantes se originan en la costumbre -bastante común- que tienen los aficionados a las matemáticas de encontrar propiedades curiosas en ciertos números. Aquellos que las poseen se consideran interesantes, y los que no, aburridos. La paradoja que hoy nos ocupa trata justamente sobre la existencia (o no) de tales números.
Piensa en un número entero cualquiera. ¿Ya está? ¡Bien! Supongamos que tu cerebro, haciendo gala de una enorme capacidad para seleccionar valores numéricos al azar ha elegido el 25. ¿Es ese número un número interesante? Los matemáticos, y también los aficionados a los pasatiempos relacionados con esa rama de la ciencia, consideran interesantes a los números que poseen alguna cualidad que los hace únicos, que los eleva sobre el infinitamente grande conjunto de los números que no destacan por absolutamente nada.
No existe un criterio universal para determinar si un número es o no interesante, pero en general, cuando alguien dice “el número x es interesante por tal o cual razón”, el resto de los interesados rápidamente cae en la cuenta de que, en efecto, “x” tiene suficiente mérito para pertenecer al club de los números interesantes.
Todos los números son interesantes
La Paradoja de los números interesantes, justamente, se desliza por una resbaladiza senda cuya base es la ambigua propiedad “ser interesante“. En efecto, tal calificativo no tiene una entidad matemática inequívoca, que sea lo suficientemente precisa y objetiva como para poder ser utilizada sin dudar como un criterio válido para dividir en dos a un conjunto de números. Si uno intentase dividir un grupo de números utilizando la propiedad “ser un número par”, podría rápida y claramente establecer dos grupos, uno formado por los pares y otro por los no pares (impares). Lo mismo ocurre con la propiedad “ser un número primo” y muchas otras.
“Ser interesante”, por el contrario, depende de la apreciación personal de cada uno. A pesar de ello, veremos que la paradoja tiene sentido. Un ejemplo clásico de un numero interesantes es el 1729. Aunque a primera vista no tiene nada de particular, es el protagonista de una anécdota en la que participan dos geniales matemáticos: el británico Godfrey Harold Hardy y el indio Srinivasa Aaiyangar Ramanujan.
Una vez, en un taxi (en inglés taxicab) de Londres, a Hardy le llamó la atención su número de coche, el 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un “hola” seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.
En efecto, como el increíble indio calculó mentalmente, 1729 puede expresarse como 1 al cubo + 12 al cubo, o 9 al cubo + 10 al cubo. Esta es una propiedad bastante extraña, solo la comparten los llamados “números taxicab”, de los cuales solo se conocen los primeros 5 integrantes de la lista: 2, 1729, 87539319, 6963472309248 y 48988659276962496. Del sexto solo se ha calculado que es menor o igual que 24153319581254312065344.
Volviendo a nuestro numero elegido al azar, el 25, podríamos decir de el que es especial por que se trata del cuadrado más pequeño (5 al cuadrado) que puede ser escrito como la suma de dos cuadrados: 3 al cuadrado + 4 al cuadrado. Supongamos que no tenemos la habilidad necesaria para encontrarle alguna propiedad a todos los números naturales, y decidimos separarlos en dos grupos, uno compuesto por los números “aburridos”, y otro por los “interesantes”.
Imaginemos que el primer numero al que no le podemos encontrar ninguna particularidad es el 33. Eso, automáticamente, lo convertiría en un numero muy interesante, ya que se ha convertido en “el número más pequeño que no tiene ninguna particularidad”. Esa característica lo transforma en “interesante”, y por lo tanto debe ser trasladado al otro conjunto. Eliminado el 33, seguramente otro número ha pasado a ocupar su lugar, convirtiéndose en el nuevo “número más pequeño que no tiene ninguna particularidad”, por lo que también deberíamos moverlo al otro conjunto.
Eso puede repetirse infinitamente, y acabar con un conjunto de “números interesantes” compuesto por todos los que teníamos al principio, y otro que está vacío. Esto nos obliga a concluir que no existen números que no son interesantes. Por otra parte, es válido preguntarse qué pueden de tener de interesantes los integrantes de un conjunto que reúne a la totalidad de los números que existen. En efecto, una característica que es compartida por absolutamente todos no tiene nada de especial. La paradoja, a pesar de estar basada en una propiedad ambigua, existe.
Algunos aficionados a las matemáticas la pasan realmente bien buscando que tiene de interesante cada número. Erich Friedman, un profesor de matemáticas de la Universidad de Stetson ha elaborado una lista con las particularidades de cada uno de los números enteros comprendidos entre 0 y 9999. ¿Te animas a encontrar un número realmente aburrido?
La paradoja de los cuatro hijos
