Piensa en un número grande. Muy grande. ¿Qué tal un gúgol? 1 por 10 elevado a la 100, o 10¹⁰⁰. Entero, redondo, finito. ¿Más grande? El gúgolplex, 10 a la gúgol o 10ᵍᵘᵍᵒˡ. Números escalofriantes a escala humana, pero verdaderos niños en pañales cuando son comparados con el número de Graham. Este número fue utilizado inicialmente por el matemático Ronald Graham en 1977 para explicar el límite superior de un problema en el que estaba trabajando. Al momento de su utilización era el número más grande jamás aplicado a una prueba matemática, e incluso llegó al libro Guinness. Y no, no puedes escribirlo de la forma tradicional.
No es fácil, vamos a dejar eso en claro desde el principio. La propia naturaleza del número vuelve complicada su explicación, y aún con todos los datos en la mesa, el resultado final es frustrante porque jamás podemos visualizarlo. La únicas alternativas frente al número de Graham son saber qué es lo que mide, tener una idea de cómo llegar a él, y cuáles son sus últimos dígitos.
El mejor aliado ante esta titánica tarea es el propio Graham. En julio de 2014 habló con la gente de Numberphile sobre su bestia, y comenzó explicando su utilidad. ¿Cuál es el objetivo del número de Graham? ¿Qué es lo que trata de calcular o medir? Casi de manera absurda, toda la aventura da inicio con el dibujo de un cuadrado…
(N. del R.: Subs en inglés, pero se pueden seguir)
El número de Graham
Un cuadrado, cuatro líneas, cuatro vértices, dos dimensiones. Ahora, hay dos formas extra de conectar a los vértices. Eso es tan simple como cruzar dos líneas dentro del cuadrado, uniendo los vértices enfrentados. Tu cuadrado bidimensional posee ahora seis líneas. El ejercicio te permite pintar esas líneas de azul o rojo, en la combinación que quieras excepto dos (ya llegaré a eso).
Sin embargo, el ejercicio se extiende a otras dimensiones. El cuadrado se transforma en un cubo, y tienes que conectar sus vértices con líneas pintadas de rojo o azul. Si seguimos subiendo, el cubo pasa a ser un teseracto. El número de líneas y patrones rojo-azul crece rápidamente, pero… existen dos combinaciones prohibidas, que debes evitar: Una «cara» con seis líneas y cuatro vértices que sea toda azul, o toda roja. Tu misión, si es que decides aceptarla, es evitar dichas combinaciones a medida que subes en dimensiones. El problema es que no puedes ganar. Hay un punto o número de dimensiones en el que esas caras azules o rojas son inevitables… y es el número de Graham.
Entonces… ¿cómo lo anotamos? El método más simple es decir G=g₆₄, cuando g₁ equivale a 3↑↑↑↑3. Las flechas son lo que llamamos «Notación flecha de Knuth», creada por Donald Knuth en 1976. Ejemplo básico: 3↑3 es 3 al cubo, 27. Si escribes 3↑↑3, eso es:
3↑(3↑3) =
3↑(3³) =
3↑(27) = 7.625.597.484.987
Poco más de 7,62 billones. g₁ demanda seguir el proceso para cuatro flechas. En términos muy pero muy relajados, cada flecha adicional hace que la exponenciación de 3 ascienda determinada por el número de la flecha anterior:
3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)
3↑↑↑3 = 3↑↑(7625597484987)
3↑↑↑3 = Más de 3.6 billones de dígitos
3↑↑↑↑3 equivale a 3↑↑↑(3↑↑↑3). Si crees que el número ya es escandalosamente grande, recuerda que apenas nos ubicamos en g₁, así que faltan 63 niveles adicionales. El número de flechas para g₂ «es» g₁, y así hasta alcanzar G=g₆₄.
Es imposible calcular el número de Graham completo, pero lo que sí podemos hacer es calcular los últimos dígitos. Para despedirme, aquí están los últimos 500:
02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387
Número áureo: belleza matemática
