La dificultad de probar que 1+1=2

Puede parecer obvio… pero a veces los expertos necesitan mucho más

por Lisandro Pardo 28 abril, 2022, 2:25 pm 11 Votes

¿Qué sucede cuando lo obvio no es tan obvio? ¿Cómo procedemos si aquello que damos por sentado requiere en realidad una exploración más profunda? Las matemáticas están llenas de esas situaciones, de esos conflictos por así decirlo. La búsqueda de una prueba matemática puede transformarse en una misión agotadora… o directamente imposible. Sin embargo, el Principia Mathematica de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell aceptó el desafío a principios del siglo XX, e incluye un ejemplo notable: La dificultad de probar que 1+1=2.

¿Cómo aprendemos matemáticas? ¿Cómo nos exponemos por primera vez a ese mundo? En lo personal puedo decir que fue una combinación de dibujos, objetos, incluso canciones. En primer grado nos enseñaron a usar un ábaco básico, que se convirtió en puerta de entrada para entender números grandes. Operaciones más avanzadas dieron lugar a fases más complejas de estudio… y a nuestro odio elemental por los números y las fórmulas. (!)

Durante todo ese largo proceso, también aprendimos a aceptar ciertas cosas en matemáticas. Y digo «aceptar», porque obtener pruebas es algo completamente diferente. Con eso en mente llegamos al canal de YouTube Half as Interesting, que compartió un excelente vídeo enfocado en Principia Mathematica, un trabajo de tres tomos sobre los fundamentos de las matemáticas escrito por dos titanes, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell (sí, el mismo de la paradoja). Sin embargo, ese trabajo suele ser citado por una razón muy particular: Su prueba de que 1+1=2.

1+1=2, y otras pruebas matemáticas

El vídeo nos explica que al principio del siglo XX había una especie de crisis matemática: En cada una de sus ramas, cuando necesitas probar algo, estás dependiendo de pruebas que ya existen. Y esas pruebas dependen de otras pruebas, que a su vez dependen de otras… e imagino que ya puedes ver el problema. Tarde o temprano se alcanza el punto de las suposiciones, cosas que como dice el vídeo «se sienten correctas» o parecen de sentido común. Esas suposiciones son diferentes para cada rama de las matemáticas, y no había un paquete de «reglas doradas» para probar su veracidad.

El objetivo de Principia Mathematica era corregir eso, o mejor dicho, dar forma a un sistema de matemáticas basado en lógica pura, tratando de minimizar la cantidad de axiomas, nociones primitivas y reglas de inferencia. Lamentablemente, el trabajo no cumplió con su objetivo, pero dejó algunos bocadillos muy interesantes en el camino, incluyendo la prueba de que 1+1 es igual a 2.

A simple vista, la prueba parece escrita en un idioma extraterrestre. De hecho, incluye varias referencias a otras secciones de los tomos, por lo tanto, un aventurero deberá explorar más de 300 páginas para entender lo que trata de comunicar: Esto aparece en la página 378 de la primera edición, en la 362 de la segunda edición, y en la 360 de la «versión reducida». La prueba completa aparece en la página 86 del segundo volumen (1ra. edición), con el comentario de que la proposición es «ocasionalmente útil». Principia Mathematica podrá ser un libro «de matemáticos, para matemáticos», pero nos alegra saber que al menos tenían un buen sentido del humor…