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La espiral de Ulam

por Ariel Palazzesi 17 octubre, 2018, 11:55 pm 22 Votes 19 Comments

Hasta los momentos de aburrimiento sirven para descubrir cosas apasionantes cuando uno es un genio. En 1963, el matemático Stanisław Ulam se encontraba en una conferencia científica y comenzó a hacer garabatos sobre un papel. Dispuso los números enteros sobre una espiral, y luego comenzó a marcar los números primos. Descubrió una serie de patrones regulares en forma de diagonales que se convirtieron en el artículo de la portada de la revista Scientific American al año siguiente. La espiral de Ulam es algo que aún hoy mantiene ocupados a los especialistas.

Los matemáticos dicen que un número natural es “primo” cuando tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Estos números han intrigado a los matemáticos desde hace siglos, y al día de hoy no existe ninguna fórmula que genere toda la serie de primos. Se sabe que son infinitos, y son una parte importante de la teoría de números. Los números primos forman parte de algunos trabajos centenarios, como la hipótesis de Riemann o la conjetura de Goldbach, y la dificultad que presenta la determinación de los factores primos de un número grande –uno que tenga cientos o miles de dígitos– los ha convertido en la llave ideal para muchos sistemas de criptografía.

El primer número primo es el 2. Lo siguen el 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. La distribución de los números primos sobre la “recta” de los números naturales parece ser completamente aleatoria aunque, como es lógico, la limitación que impone el hecho de que solamente puedan ser divididos por si mismos y por 1 hace que esta distribución no sea -estrictamente hablando- completamente al azar. Muchos matemáticos (probablemente todos) se sienten muy atraídos por estos números.

Uno de ellos fue el polaco estadounidense Stanisław Marcin Ulam, que en 1963 hizo un descubrimiento muy interesante. Ulam había asistido a una conferencia científica cuyo contenido le resultaba absolutamente aburrido. Tenía papel y lápiz, así que comenzó a garabatear cosas, como cualquiera de nosotros hace mientras habla por teléfono o -como Ulam- está pensando en cualquier cosa. Pero a diferencia de los simples mortales, Stanisław era un matemático de raza, así que en lugar de monigotes o corazoncillos dibujó números. Sin ningún plan preconcebido, fue escribiendo los números enteros a lo largo de una espiral, tal como se ve en la imagen siguiente:

Luego de dibujar unas cuantas vueltas de números, y viendo que la conferencia seguía su derrotero sin tocar algún tema que fuese de su interés, comenzó a marcar los números primos. Señaló el 2, luego el 3, el 5 y así, hasta que luego de haber marcado algunas docenas de números, se encontró con un patrón parecido al siguiente:

Rápidamente notó que los números que quedaban sobre la espiral -los “primos”- se agrupaban siguiendo patrones diagonales. A pesar de que seguía siendo difícil predecir donde “caería” el próximo primo, el aspecto que mostraba el gráfico resultante era a todas luces algo muy diferente a una distribución azarosa. Es fácil ver que los números se agrupan en lineas diagonales de diferentes longitudes. Dado que todos los primos (si dejamos de lado el 2) son impares y que en la espiral de Ulam algunas diagonales contienen números impares y otras pares, los números primos caen en diagonales alternas. Dada su naturaleza irregular, estas estas diagonales contienen proporciones diferentes de números primos.

Utilizando ordenadores se han graficado “espirales de Ulam” de tamaños enormes. Invariablemente, y sin importar qué tan grande se haga la espiral, las diagonales mencionadas siguen apareciendo. Esto ocurre aún cuando el número central no sea uno. De hecho, puede utilizarse cualquier número como inicio de la espiral y el resultado es siempre parecido. Como es lógico, las espirales generadas cuando se toman números diferentes no son idénticas, pero siempre muestran esas diagonales.

El “trabajo” que hizo Ulam mientras se aburría en esa conferencia rápidamente se hizo famoso entre sus colegas. Tanto, que la portada de la afamada revista Scientific American de marzo de 1964 tenía, como artículo destacado, esta espiral. A pesar de todo, el aporte de Ulam no ha servido aún para desarrollar ninguna aplicación revolucionaria de los números primos o para encontrar algún sistema más rápido que permita factorizar un número en menos tiempo. Sin embargo, los especialistas no pierden las esperanzas de que, algún día, esta espiral arroje luz sobre la naturaleza de estos intrigantes números.

Espiral de Ulam enWikipedia

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